WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

«Метод канонических форм в теории наблюдения линейных систем с квазидифференцируемыми коэффициентами» по специальности «01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»

Автореферат диссертации

 

 Государственное научное учреждение «ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК БЕЛАРУСИ;

УДК 517.977 + 517.926

АСТРОВСКИЙ АНАТОЛИЙ ИВАНОВИЧ

МЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМ

В ТЕОРИИ НАБЛЮДЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

С КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

МИНСК, 2012


Работа выполнена в Институте математики НАН Беларуси


Научный консультант:

Официальные оппоненты:


Гайшун Иван Васильевич, доктор физико-математических наук, академик, профессор, директор Института математики НАН Беларуси

Марченко Владимир Матвеевич, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики Белорусского государственного технологического университета

Метельский Анатолий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Белорусского национального технического университета

Минченко Леонид Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой информатики Белорусского государственного универси­тета информатики и радиоэлектроники


Оппонирующая организация:     Белорусский государственный университет

Защита состоится <б> апреля 2012г. в 1300 на заседании совета по защите диссертаций Д 01.02.02 при Государственном научном учреждении <Инсти-тут математики Национальной академии наук Беларуси> по адресу: 220072, г. Минск, ул. Сурганова 11, тел. ученого секретаря 284-19-58.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики НАН Беларуси

Автореферат разослан «1» марта 2012г.


Ученый секретарь совета

по защите диссертаций, кандидат

физико-математических наук


СВ. Лемешевский


ВВЕДЕНИЕ

В диссертации исследуются свойства наблюдаемости линейных неста­ционарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Наблю­даемость наряду с устойчивостью, управляемостью, стабилизируемостью является фундаментальным структурным свойством динамических си­стем (Р. Калман, Н.Н. Красовский, А.Б. Куржанский, Ф.Л. Черноусько, Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, И.В. Гайшун, С.К. Коровин, П.Е. Эльяс-берг, R.E. Brammer, F.C. Schweppe, L.M. Silverman, L. Weiss и др.). При изучении многих проблем из теории управляемых движений необходимо знание текущих состояний системы. Это важно, например, когда управ­ляющие воздействия формируются по принципу обратной связи. Однако координаты объектов часто недоступны непосредственному наблюдению (измерению), но вместе с тем имеется информация о состоянии объектов в виде некоторой выходной функции. Суть задачи наблюдаемости заклю­чается в выяснении вопроса о возможности однозначного восстановления текущих (или начальных) состояний системы по данным наблюдений. Актуальность задач наблюдения заметно усилилась в последнее время в связи, например, с задачами космической навигации, при проектировании космических навигационных систем и др.

В математической теории управления к настоящему времени накоплено значительное количество теоретических и прикладных результатов, отно­сящихся к фундаментальным проблемам теории систем. Исследования по одним направлениям в основном закончены, по другим же направлениям продолжается интенсивный поиск. К последним относятся и разделы по теории линейных нестационарных систем управления-наблюдения. Анализ таких объектов стимулирован как их широким распространением в прило­жениях, так и их важностью для теории дифференциальных уравнений и математической теории управления. Исследование линейных систем имеет не только самостоятельное значение, но и служит основой для изучения нелинейных уравнений по их линейному приближению.

Один из мощных методов исследования структурных свойств динамиче­ских систем основан на классической идее A.M. Ляпунова о преобразова­нии системы к простейшей форме, что в ряде случаев позволяет полностью изучить фундаментальные свойства сложных систем. Успешно этот под­ход применяется при изучении устойчивости линейных нестационарных си­стем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для систем управления-наблюдения реализация идей A.M. Ляпунова заключается в приведении ис­ходной системы к простейшему (каноническому) виду с помощью подхо-

1


дящей группы линейных преобразований. В качестве канонических систем обычно рассматриваются системы с матрицами в форме Фробениуса, кото­рые в случае одномерной выходной функции эквивалентны линейному ска­лярному квазидифференциальному уравнению n-го порядка с коэффици­ентами, зависящими от времени. Выбор таких систем в качестве канониче­ских объясняется тем, что для них основные задачи математической теории систем решаются сравнительно просто. В монографии И.В. Гайшуна да­но применение канонических форм Фробениуса к классическим проблемам синтеза нерезонансных систем, управления спектром, стабилизации, асимп­тотического оценивания состояний и др. Теория канонических форм оказа­лась эффективной и для стабилизации нелинейных уравнений по линейному приближению. Однако вопрос о преобразовании заданной линейной нестаци­онарной системы наблюдения к канонической форме к настоящему времени полного решения не имеет. Первые работы (L.M. Silverman, Н. Е. Meadows, W.A. Wolovich, M.Y. Wu и др.) в этом направлении гарантировали приведе­ние системы к канонической форме в предположении равномерной наблюда­емости (управляемости) и дифференцируемости коэффициентов достаточ­но большое число раз. К настоящему времени теория канонических форм Фробениуса для линейных нестационарных систем управления и наблюде­ния полно разработана в так называемом гладком случае (И.В. Гайшун). Диссертационная работа является развитием идей и методов исследования нестационарных систем, предложенных в работах академика И.В. Гайшуна.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Связь работы с крупными научными программами (проектами) и темами

Тема диссертационной работы соответствует направлению <Физические и математические методы и их применение для решения актуальных про­блем естествознания, техники, новых технологий, экономики и социальных наук>, включенному в Перечень приоритетных направлений научных иссле­дований Республики Беларусь на 2011-2015 годы, утвержденный постанов­лением №585 СМ РБ от 19.04.2010. Работа выполнялась в рамках задания <Математическое моделирование процессов управления сосредоточенными и распределенными системами> (Математические модели 13, одобрено реше­нием Совета по координации фундаментальных и прикладных исследований

Гайшун, И.В. Введение в теорию линейных нестационарных систем / И.В. Гайшун. -

М.: Едиториал УРСС, 2004. - 409с.

2


от 8.02.2006г.) Государственной программы фундаментальных исследований <Исследование математических моделей и их применение к анализу систем, структур и процессов в природе и обществе>; задания <Алгебраическая и геометрическая теория динамических систем управления> (Математические структуры 15, постановление №21 Президиума НАН РБ от 24.03.2005г.) Го­сударственной программы фундаментальных исследований <Исследование основных математических структур и проблем математического моделиро-вания> (постановление №111 СМ РБ от 29.01.2002), а также ряда проектов Белорусского республиканского Фонда фундаментальных исследований.

Цель и задачи исследования

Целью диссертации является разработка новых методов исследования различных типов наблюдаемости и построения канонических форм для ли­нейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравне­ний. Основное внимание уделяется расширению класса систем наблюдения, для которых в конструктивной форме в терминах исходных параметров можно получить необходимые и достаточные условия наблюдаемости и су­ществования канонических форм Фробениуса. Для достижения этой цели в работе решаются задачи равномерной, аппроксимативной, точечной, по­ложительной наблюдаемости; задача квазидифференцируемости выходных функций систем наблюдения; задача эквивалентности линейных равномерно наблюдаемых нестационарных систем для различных групп преобразований; задача разрешимости операторного уравнения относительно коэффициентов канонических форм.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся:

  1. метод исследования наблюдаемости, основанный на квазидифференци­руемости выходных переменных, позволивший получить достаточные условия полной, а также необходимые и достаточные дифференциаль­ной и равномерной наблюдаемости;
  2. доказательство необходимых и достаточных условий существования ка­нонических форм Фробениуса для равномерно наблюдаемых систем с квазидифференцируемыми коэффициентами и метод их построения;
  3. установлено, что выходные функции точечно наблюдаемых систем явля­ются многочленами по некоторой системе функций Чебышева, на основе чего доказаны необходимые и достаточные условия точечной, равномер­но точечной и положительной наблюдаемости;

3


  1. обоснование алгоритма описания информационных множеств для рав­номерно наблюдаемых систем с помехами волновой структуры, основан­ного на канонических формах Фробениуса, позволившего, в частности, получить достаточные условия идеальной наблюдаемости, представлен­ные в терминах обобщенной матрицы Грама;
  2. доказано, что дискретная аппроксимация по схеме Эйлера равномерно наблюдаемой дифференциальной системы тотально наблюдаема и что ее каноническая форма (при условии существования пределов некото­рых функций, построенных по ее коэффициентам) сходится к канони­ческой форме дифференциальной системы;
  3. алгоритм решения билинейной минимаксной задачи с линейными огра­ничениями и его применение к построению априорной гарантирующей операции оценивания состояний линейных дискретных систем наблюде­ния с помехами.

Таким образом, в диссертации разработаны и обоснованы новые мето­ды исследования задач наблюдения в линейных нестационарных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, дающие концептуальное раз­витие теории наблюдаемости линейных нестационарных систем.

Личный вклад соискателя

Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации

Результаты диссертации были представлены на следующих международ­ных научных конференциях и семинарах: <Optimale Steurimg-Theorie und Anwendimgen> (Leipzig, 1983), II Всесоюзной школе-семинаре по оптимиза­ции и ее приложениям в экономике (Ашхабад, 1984), Всесоюзной школе вы­числительные методы и математическое моделирование> (Москва, 1984), Sixth Czechoslovak Conference on differential equations and their applications (Brno, 1985), <Mathematische Optimierung-Theorie und Anwendungen> (II-menau, 1986), Девятом Всесоюзном симпозиуме <Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования> (Минск, 1986), Шестой Всесоюзной конференции по управлению в механических систе­мах (Львов, 1988), 7-th IFAC Workshop on control application of nonlinear programming and optimization (Tbilisi, 1988), 3-ей Уральской региональной конференции <Функционально-дифференциальные уравнения и их прило-жения> (Пермь, 1988), 7-ой Чехословацкой конференции по дифференци­альным уравнениям и их приложениям (Equadiff-7, Прага, 1989), Всесоюзной конференции <Негладкий анализ и его применение в экономике> (Баку,

4


1991), Еругинских чтениях-П (Гродно, 1995), Вторых республиканских чтениях по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященных 75-летию Ю.С. Богданова (Минск, 1995), VII Белорусской математической конференции (Минск, 1996), Еругинских чтениях-Ш (Брест, 1996), Понт-рягинских чтених-VII (Воронеж;, 1996), Еругинских чтениях-IV (Витебск, 1997), Еругинских чтениях-V (Могилев, 1998), <Динамические систе­мы: устойчивость, управление, оптимизация> (Минск, 1998), Еругинских чтених-VI (Гомель, 1999), <Аналитические методы анализа и дифферен­циальных уравнений> (Минск, 1999), VIII Белорусской математической конференции (Минск, 2000), <Аналитические методы анализа и дифферен­циальных уравнений> (Минск, 2001), <Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика)> (Минск, 2005, 2006), <Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация> (Международная кон­ференция к 90-летию со дня рождения академика Е.А. Барбашина, Минск, 2008), <Дифференциальные уравнения и топология> (Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина, Москва, 2008), <Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений> (Минск, 2011) и семинаре Белорусского математического общества.

Опубликованность результатов диссертации

По теме диссертации соискателем опубликовано 48 работ (36 работ без соавторов), одна монография, 20 статей в журналах, 4 статьи в книгах и сборниках, 5 статей в трудах и материалах международных конференций, 18 тезисов докладов на международных конференциях. Основные результаты диссертации изложены в 30 работах [1] — [30]. Общий объем опубликованных материалов составляет 29,5 авторских листа.

Структура и объем диссертации

Диссертация включает в себя перечень условных обозначений, введение, общую характеристику работы, 6 глав, содержащих 35 разделов, заключение и библиографический список. Полный объем диссертации составляет 198 страниц. Список использованных источников содержит 309 наименований на 28 страницах, из них 48 публикаций соискателя.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дан обзор литературы по теме диссертации и обоснована актуальность исследований. В главе 2 изучается наблюдаемость линейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на ос-

5


нове применения и развития теории квазидифференцирования. Это позволя­ет ослабить известные требования на дифференцируемость коэффициентов в условиях наблюдаемости. Изучены равномерная наблюдаемость, аппрок­симативная наблюдаемость, точечная наблюдаемость, равномерно точечная наблюдаемость и положительная наблюдаемость.

Пусть на отрезке Т = [to,ti]задана линейная нестационарная система наблюдения

x(t) = A(t)x(t),    y(t) = c(t)x(t)    (teT),(1)

в которой (п х п)-матрица A(t) и n-вектор-строка c(t) непрерывны на Т. Отождествим каждую такую систему (1) с парой (А, с), а множество всех их обозначим через Еп. В классической постановке задача полной наблю­даемости формулируется как проблема наличия взаимно однозначного со­ответствия между выходными функциями у {t) = y(t, Xq) и порождающими их начальными условиями XqЄ Шп. При конструировании систем регулиро­вания, как правило, регулятор строится в виде функции текущего состоя­ния x{t). Поэтому знание вектора x{t) является необходимой предпосылкой создания эффективных систем регулирования. Хорошо известно, что если матрица наблюдаемости S{t) системы (1) невырождена в некоторой точке о" Є Т (и стало быть, система (1) полностью наблюдаема на Т), то по зна­чению выходного сигнала и его производных в момент а алгебраическим путем можно найти вектор х{а). Однако определение x{t) в точках t:от­личных от о", приводит к непростой задаче интегрирования нестационарной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Ясно, что проблемы интегрирования можно избежать, если потребовать невырожденность мат­рицы S(t) при всех tЄ Т. Указанное требование было использовано как чисто техническое средство, позволяющее строить канонические формы си­стем наблюдения и оно было положено в основу определения равномерной наблюдаемости. Ниже приводится определение равномерной наблюдаемо­сти в терминах выходной функции.

Определение 1. Система (1) называется равномерно наблюдаемой на Т, если при любом Хо Є W1 функция y(t) = y(t, Xq) принадлежит про­странству C^iT^R) и отображение x(t) -+ (y(t), y{1)(t), ..., 2/(n-1)(Ј)) инъективно для каждого tЄ Т.

Красовский, Н.Н. Теория управления движением / Н.Н. Красовский. - М.: Наука, 1968. - 476с.

^Silverman, L.M. Transformation time-variable systems to canonical (phase-variable) form / L.M. Silverman // IEEE Trans. Autom. Control. - 1966. - Vol. AC-11, №2. - P. 300 - 303.

Silverman, L.M. Controllability and observability in time-variable linear systems / L.M. Silverman, H.E. Meadows // SIAM J. Control. - 1967. - Vol. 5, №1. - P. 64 - 73.

6


Для исследования свойства равномерной наблюдаемости системы (1) вве­дем оператор L: Т,п —>¦ Еп, действующий по правилу

L(A,c) = (А, сА + с).

По индукции можно найти любую степень Lоператора L, область опреде­ления которого обозначим через Т)^- Каждую систему (А, с) Є Т>], назовем системой класса к. Пусть система (А, с) имеет класс (п — 1). Тогда для tЄ Т определены n-вектор-функции строки

st(t) = Si-i^Ait) + Si_i(*),    s0(*) = c(t)    (г = 1, 2,... ,n - 1),       (2)

из которых составим (п х п)-матрицу S^).

Если элементы матрицы A{t) принадлеж;ат пространству Cn_2(T, М), а компоненты вектор-функции c(t) содерж;атся в множ;естве Сп~ (Т, М), то 5*(/:) представляет собой хорошо известную матрицу наблюдаемости, которая играет важную роль при исследовании линейных нестационарных систем наблюдения (Д'Анжело, И.В. Гайшун, Р. Калман, Н.Н. Красовский, В.М. Морозов, В.И. Каленова, A. Chang, L.M. Silverman, Н.Е. Meadows, L. Weiss, W.A. Wolovich, M.Y. Wu и др.). В терминах этих матриц получены условия наблюдаемости, на основе матриц наблюдаемости строятся преобразования, приводящие системы наблюдения к каноническим формам и т.п.

Справедлив следующий критерий равномерной наблюдаемости.

Теорема 1. Пара (А, с) Є Sn равномерно наблюдаема на Т тогда и только тогда, когда она имеет класс п — 1 и rank S(t) = п (VtЄ Т).

Понятие равномерной наблюдаемости в разделе 2.2 диссертации распро­странено на линейные нестационарные системы с mвыходами и доказаны необходимые и достаточные условия наличия этого свойства.

В разделе 2.3 диссертации установлена связь равномерной наблюдаемо­сти с вопросом существования разрешающих операций в классе обобщенных функций или (по другой терминологии) распределений. Согласно2 полная наблюдаемость системы (1) гарантирует для любого р Є Шп существование такой измеримой почти всюду ограниченной функции г = r{t) (разрешаю­щей операции), что при каждом XqЄ Шп выполнялось равенство

/ r(t)y(t,x0)dt = pfx0.

to

В литературе исследовалось существование разрешающих операций как при геометрических, так и при функциональных ограничениях (Н.Н. Красов-

7


ский, А.Б. Куржанский, Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, О.И. Никонов, R.F.

Brammer и др.).

Пусть 6а — дельта-функция (распределение) Дирака, сосредоточенная в точке о" Є Т. Рассмотрим систему (А, с) Є Sn класса п — 1. На выходах у = y(t) такой системы определены обобщенные функции

S   =6{0)   ?(1)                     6^~1)

°(т        иа    1   иа    1   • • • 1   иаi

(6а — г-ая производная распределения 6а), при этом для каждого индек­са г = О,1,...,п — 1 выполняется равенство 6а (у) = S{(a)x(a). Поэтому справедливо соотношение S(a)x(a) = 0а(у)} где 9а(у) — п-вектор-столбец с элементами 6а(у), 6а (у), .. ., 6а (у)- Значит в случае равномерной на­блюдаемости однозначно восстанавливается состояние х(а) = S~1(a)Qa(y). Однако указанная формула имеет чисто теоретическое значение, посколь­ку распределения не могут быть точно реализованы. В разделе 2.3 на основе использования известных способов аппроксимации дельта-функций и ее производных с помощью (^-последовательностей гладких функций по­лучены асимптотические оценки состояний х(о~). Пусть задана некоторая (^-последовательность j^j(^)} ¦_-,¦Для каждой выходной функции y(t) систе­мы (А, с) определим величины

7І°М=   /' У(° - r)6f'\т)о1т    (г = 0,1,..., п-1; j = 0,1,2,...),       (3)

из которых составим n-вектор-столбец Zj((j) = (ij(o~)tXj(с), • • • ,7j       (а))-

Определение 2. Систему (А, с) назовем аппроксимативно наблюдае­мой в классе 6-последовательностей, если при любом Хо Є W"Jвыходная функция y(t) принадлежит пространству Сп~1(Т, Ш) и существует такая непрерывная, не зависящая от Хо, обратимая при каждом а Є Т (п х п)-матрица М(а), что для любого є > 0 найдется номер ttiq= т(хо,а,6), обладающий свойством \\х(а,Хо) — M(a)zj(a)\\ < є при j> mo, где || • || — некоторая норма в W1.

Определение 2 означает, что по величинам (3) можно сколь угодно точ­но оценить состояние х(а), при этом знание производных выходного сигнала

Владимиров, B.C. Обобщенные функции в математической физике / B.C. Владими­ров. - М.: Наука, 1976. - 280с.

"Антосик, П. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход / П. Антосик, Я. Микусинский, Р. Сикорский. - М.: Мир, 1976. - 312с.


не требуется. Операция дифференцирования выходного сигнала y{t) пере­носится на функции 6j(t), которые могут быть выбраны заранее, а значит, заранее вычислены и их производные.

Теорема 2. Система (А, с) Є ?п аппроксимативно наблюдаема в классе 5-последовательностей тогда и только тогда, когда она равномерно наблюдаема.

Свойство равномерной наблюдаемости в смысле определения 1 требует определенную гладкость коэффициентов, что сужает класс рассматривае­мых систем. С целью ослабления этого требования в разделе 2.5 диссертации используется техника квазидифференцирования . Это позволяет построить матрицу наблюдаемости для более широкого класса систем и получить кон­структивные условия различных типов наблюдаемости.

Пусть i) — целое неотрицательное число. Обозначим через Ы${Т) сово­купность всех нижнетреугольных матриц P(t) размера ((#+ 1) х (# + 1)) с непрерывными на Т элементами Pki(t) (i,k= 0,1,..., $), удовлетворяющи­ми условию

Pkk(t)Ґ=0    (teT),(fc = O,l,...,0).

Выберем какую-либо матрицу P{t) из множества Ы${Т). Квазипроизвод­ные pw(t), pw(t), ... , Pw{t) порядка 0,1,..., относительно матрицы P{t) непрерывной функции w: Т —>¦ К. определяются по следующим рекуррент­ным правилам

dt

'А;-1„..ЛЛ\        k~l

ГУ, I

pW(t) =Pkk{t)-

d(°w(t)) °Pw(t) = poo{t)w{t),    pw(t) = pu(t)   VP   ' П +Pio(t){Pw(t)),...,

*-^    ~ ^d{p~f])+J2mmPw(t))   (* = 2,з,...,*).

dt

i=0

Семейство всех непрерывных функций, обладающих непрерывными квази­производными относительно заданной матрицы Р Є Ы$(Т), обозначим через Ср{Т). Определим линейный функционал Аа = рАа на Ср{Т) равенством Aa(w) = poo(a)w(a): а его квазипроизводные 3рАа зададим соотношения­ми pAa(w) = ( — iy{Jpw(a)). Легко заметить, что отображение Аа является аналогом дельта-функции Дирака 5а, сосредоточенной в точке <т, в которую оно и превращается, когда матрица P(t) единична. Для системы наблюдения

x{t) = A{t)x{t),    y{t) = C{t)x{t)    {teT).(4)

'Наймарк, M.A. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. - М.: На­ука, 1969. - 528с.


(здесь A(t) и C(t) — матрицы размеров (п х п) и х п) соответственно с непрерывными на Т элементами) в разделе 2.5 доказаны эффективные условия полной и дифференциальной наблюдаемости в случае квазидиффе-ренцируемости выходных функций.

Пусть P{t) — заданная матрица из множества Ы${Т). Будем говорить, что система наблюдения (4) имеет Р-класс q, 0 < q< $, и при этом писать (Л, С) Є {Р, q}, если компоненты каждой выходной функции этой системы принадлежат множеству СР(Т): т.е. имеют непрерывные квазипроизводные до порядка qвключительно.

Лемма 1. Система (4) имеет Р-класс qтогда и только тогда, когда существуют и непрерывны матрицы Sk(t), определяемые формулами

S0{t) = poo{t)C{t),    S^t) = pn{t){So(t)A(t) + S0(t)) +ріо(*)ЗД,

k-i Sk(t) = pkk(t)(Sk-^Ait) + Sk-iit)) + J2Pkj(t)Sj(t) (k = 2,3,..., q).   (5)

3=0

Составим из блоков Sk(t) (к = 0,1,. .., q) матрицу S^q\t) = I ,      -^— ) .

Мож;но заметить, что для любого решения x{t) системы (4) и соответствую­щего ему выхода y(t) выполняется равенство Y(t) = S^q\t)x(t), где Y(t) — столбец, образованный элементами py(t), py(t), .. . ,qpy(t).

Пусть система (4) имеет Р-класс q. Скажем, что она наблюдаема в мно­жестве функционалов (разрешающих операций) РАа, рАа, ...,рАа, если по элементам РАа(у) (к = 0,1,...,д) однозначно находится вектор х(а). Когда наблюдаемость имеет место при произвольном а Є Т, то систему (4) назовем равномерно наблюдаемой. Поэтому система (4) Р-класса qвполне наблюдаема на Т, если для некоторого и Є Т верно условие rank S^q\a) = п и дифференциально наблюдаема на Т, когда rank S^{t) =пдля почти всех tЄ Т. Очевидно, критерием равномерной наблюдаемости системы (4) Р-класса qслужит равенство rank S^q> (t) = п при каждом tЄ Т.

Обозначим через Vn(A^c) семейство всех матриц P{t) из множества Ып(Т): относительно которых все выходные функции системы (1) (п — 1) раз непрерывно квазидифференцируемы. Для любой матрицы Р Є Vn(A,c) определим матрицу наблюдаемости Sp(t) по формулам (5) при q= п — 1.

Лемма 2. При каждом tЄ Т все матрицы Sp(t) (Р Є Vn(A,c)) одно­временно либо вырождены либо невырождены.

ю


Из леммы 2 следует, что условия наблюдаемости системы (1) не зависят от выбора матрицы Р Є Vn(A,c).

При использовании техники квазидифференцирования возникает нетри­виальная проблема нахождения хотя бы одного элемента Pit) множества Ы$(Т): относительно которого выходные функции системы наблюдения qраз квазидифференцируемьг В разделе 2.6 указан один класс систем наблюде­ния со скалярным выходом, для которых эта проблема легко решается.

Говорят, что линейная система

x(t) = H(t)x(t),    y(t)=g(t)x(t),

имеет верхнюю форму Хессенберга, если непрерывные на отрезке Т (пх п)-матрица H(t) и n-вектор-строка g(t) задаются следующим образом:


H(t)


ДпМ   rl2(t)   ru(t)

7*21 (*)    T22{t)    7*23 (?)

0        7*32 (?)    Г3з{і)

0 0

0 0

0

V о

g(t) = (0,   0,


7*l,n-lW        nn{t)    \

r2,n-l{t)r2n{t)

7*3,n-lW               7*3n(^)

'n—ljU—lyL')'п—1,п\^)

'n,n—l\t)innyt)    /

o, noW).


(6)



Пусть

rkik-!(t)^0    (teT),     (Л =1,2,

Определим ((n + 1) x (n + 1))-матрицу Q(t) =

(r^it)0


n,


0


o\


(7)



-Гпп{І)Гпп_1(І)


r,


i,n-l\4


0        0



-rn.hn{t)rnl_,n_2{t)   -rn-i,n-i{t)rn\n_2{t)


о     о


f8



 


-r2n(t)r2^(t)

-r2,n-l(t)r2?(t)

\-nn(t)-n,n-l(t)

которая, очевидно, принадлежит множеству Ып{Т).


г ,1(1)    0 -ru(t)   l)


Лемма 3. Если выполняются условия (7), то пара (Н,д) в верхней форме Хессенберга (6) имеет Q-класс п и каждая ее выходная функция y(t) удовлетворяет квазидифференциальному уравнению ny(t) = 0.

11


Таким образом, в случае системы наблюдения с матрицами (6), облада­ющей свойством (7), без труда находится матрица QЄ Ып(Т)7 относительно которой все выходные функции п раз квазидифференцируемы.

Пусть Qn— совокупность всех невырожденных при каждом tЄ Т (пх п)-матриц G(t)} принадлежащих классу С (Т, Мпхп). Действие группы Qnна паре (А, с) из ?п зададим правилом

G*(A,c) = (G-lAG-G~lG, cG),    G є Qn,

которое в терминах пространства состояний системы означает замену пе­ременных x(t) по формуле x(t) = G(t)z(t). Символом О (А, с) обозначим орбиту системы (А, с) Є Sn относительно группы Qn.

Легко проверить, что если система (А, с) имеет Р-класс q7то такой же Р-класс имеет и любая система орбиты 0(А,с) (поскольку множество всех выходов пары (А, с) инвариантно относительно действия группы Qn). Поэто­му, когда в орбите О (А, с) содержится система в верхней форме Хессенберга, каждая выходная функция y(t) пары (А, с) п раз квазидифференцируема относительно матрицы (8) и удовлетворяет однородному квазидифферен­циальному уравнению ny(t) = 0. Следовательно, наличие в орбите 0(А,с) пары в верхней форме Хессенберга позволяет сравнительно просто решить вопрос о квазидифференцируемости выходных функций системы (А, с).

Сказанное выше приводит к необходимости исследования вопроса о воз­можности преобразования системы (А, с) к верхней форме Хессенберга, т.е. к вопросу о наличии в орбите 0(А,с) хотя бы одной пары (Н,д) вида (6). Как показывают примеры, это бывает не всегда. Однако, если в множестве О (А, с) содержится какая-либо система в форме Хессенберга, то в нем име­ется и бесконечное множество таких систем.

Лемма 4 Если в орбите О (А, с) содержится пара (Н, д) в верхней фор­ме Хессенберга со свойством (7); то совокупность Од(А, с) всех хессенбер-говых систем с этим свойством, расположенных в 0(А,с), описывается соотношением

O0H{A)c) = {G^{H)g):Сє?д},

где Q& — подгруппа группы Qn, состоящая из всех верхнетреугольных невы­рожденных матриц.

Критерий существования системы в верхней форме Хессенберга в орбите О (А, с) доставляет следующая

Теорема 3. Множество О (А, с) содержит пару в верхней форме Хес­сенберга (Н,д), удовлетворяющую условию (7), тогда и только тогда, ко­гда все выходные функции y(t) системы (А} с) п раз квазидифференцируемы

12


относительно некоторой матрицы Р Є Ып{Т) и только они удовлетворя­ют однородному квазидифференциальному уравнению py{t) = 0.

Критерий существования верхней формы Хессенберга, описываемой тео­ремой 3, не является конструктивным, поскольку не дает способа постро­ения матрицы P{t). Поэтому в разделе 2.7 получены более эффективные признаки не пустоты множества Он(А^ с). Для формулировки этих условий зададим скалярные функции b{j{t) (i= 1, 2,. .., n; j= i1, i,..., n) и п-вектор-строки pi(t) (I= 1, 2,..., n) следующим образом. При i = 1, j = 0, I = n положим

b10(t) = \\c(t)l    pn(t) = c(t)\\c(t)\\-\

а для остальных индексов определим их при к = 0,1,. .. ,п — 2 по рекур­рентным правилам:

bn-k,j{t) = (pn-k{t)A(t) + pn-k{t))p'j{t) {j= n,n- 1,.. . ,n - k),

n

bn-k,n-k-i{t) = \\pn-k{t)A(t) +pn-k{t) - ^2 bn-k,%{t)p%{t)\\,

i=nkn

pn-k-i(t) = {pn-k(t)A(t)+pn-k(t)- Y^ ьп-кМРг^))ь-\п_к_г(г).

i=nk

Теорема 4. В орбите О (А, с) пары (А, с) содержится система (Н,д) в верхней форме Хессенберга со свойством (7) тогда и только тогда, ко­гда bn-k,n-k-i(t) т^ 0 пРи каждом tЄ Т и п-вектор-функции pn-k(t) (к = 0,1,..., п — 1) непрерывно дифференцируемы на Т, при этом элемен­ты Vij(t) пары (Н,д) определяются соотношениями rw(t) = bw(t), rn-k,i{t) = bn-k,i{t) {к = 0,1,..., n- 1; i = n,n-l,...,n- к- 1),

ru(t) = (pi(t)A(t) + рЩр'ІЇ) (г = 1, 2,..., n),

а матрица G(t) преобразования (A}c) > G* (A, c) = (H, g) может быть выбрана ортогональной.

Определение 1 дает свойство равномерной наблюдаемости в терминах отображения х (t) > (y(t), y^\t), ..., y^n~l> (?)), использующего при каж­дом tЄ Т значения выходной функции y(t) и ее первых (п — 1) производ­ных. Однако системы наблюдения не всегда позволяют получать значения производных выходных функции в момент t:а численные методы их на­хождения, как правило, дают большие погрешности. Поэтому в разделе 2.8 изучено понятие точечной наблюдаемости, которое означает возможность

13


восстановления начального (текущего) состояния системы по значениям вы­ходной функции на любом строго упорядоченном наборе из п точек.

Известно, что система (1) полностью наблюдаема на Т тогда и только тогда, когда компоненты n-вектор-строки h{t) = c(t)F(t,to) линейно неза­висимы на множестве Т. Здесь F(t,to) — фундаментальная матрица систе­мы (1). Из свойств полной наблюдаемости следует существование строго упорядоченного набора точек т = (ті, Т2,..., тп), Т{ Є Т, (г = 1, 2,..., п), т~і < Т2 < ... < тп, что отображение

От:  Rn^Rn,    От(х0) = (у(тих0), у(т2,х0), ..., у(тп,х0))

инъективно. Другими словами, значения выходной функции y(t, Xq) в точках т\, Г2, ..., тп однозначно определяют начальное состояние Xq. В литературе такой набор точек называют программой наблюдений, а задачу ее нахожде­ния относят к проблеме управления процессом наблюдения.

Определение 3. Систему (1) назовем точечно наблюдаемой на мно­жестве Т, если для любого строго упорядоченного набора т = (ті, Т2,..., тп) оператор От инъективен.

Теорема 5. Система (1) точечно наблюдаема тогда и только тогда, когда набор функций h(t) = {h\{t), ti2(t), ..., hn(t)} является системой Чебышева порядка (п — 1) на Т.

Примерами точечно наблюдаемых систем на любом отрезке являются полностью наблюдаемые стационарные системы, матрицы А которых имеют различные действительные характеристические числа.

Лемма 5. Свойство точечной наблюдаемости системы (1) инвари­антно относительно действия группы Qn.

Рассмотрим понятие наблюдаемости, объединяющее как равномерную, так и точечную наблюдаемость. Пусть ?ц < ^2 < • • • < ?п — конечная после­довательность точек из множества Т, т = т(?) = (ті,Т2,.. ., тто) — упоря­доченный по возрастанию набор ее различных элементов и к{ — количество таких элементов Јj, что Јj = Т{ (г = 1, 2,... , т). Предположим, что каждая выходная функция y(t) системы (1) (п — 1) раз непрерывно дифференциру­ема и построим n-вектор-столбец YTс компонентами

уЦ-1\п)    (j = l,2,...,^; г = 1,2,...,т).

Определение 4. Систему (1) назовем равномерно точечно наблюда­емой на Т,  если каждая выходная функция этой системы (п — 1) раз

14


непрерывно дифференцируема и для любого упорядоченного набора точек С = (?ъ?2? • • • 5?п) оператор OtW1—>¦ W1, OUxo) = YTинъективен.

Лемма 6. Система (1) равномерно точечно наблюдаема тогда и толь­

ко тогда, когда определитель А* (                    ' ? ) отличен от нуля при

любом наборе точек Јi   <  ^2   <   • • •   <  ?,п из Т.

Если система (1) равномерно наблюдаема, то, вообще говоря, она не яв­ляется равномерно точечно наблюдаемой. Пусть равномерно наблюдаемая пара (А, с) имеет класс п и S{t) — ее матрица наблюдаемости. Определим n-вектор-функцию f{t) по правилу

fit) = iflit)1 hit), ..., fnit)) = snit)S~lit).

Преобразование переменных Ј(t) = S(t)x(t) переводит систему (1) в систему

№ = (S(t)A(t)S-\t) + S(t)S-\t))№ с выходной функцией у it) = Јi(t).

Теорема 6. Если система (1) класса п равномерно наблюдаема и урав­нение y(n\t) — fnit)y^n~l\t) — ... — fi[t)y{t) = 0 неосцилляционно на Т, то пара с) равномерно точечно наблюдаема.

В классической постановке задачи наблюдаемости линейных систем пре­дполагается, что значения выходной функции доступны наблюдателю в каж­дый момент t. Однако в приложениях это осуществимо не всегда. В ряде за­дач наблюдения исследователю известна не выходная функция системы (1), а лишь ее неотрицательный «срез»,   т.е. функция y+{t) = max(0, c(t)x(t)).

Определение 5. Систему (1) назовем положительно наблюдаемой, если для любых различных начальных состояний х\ = xl(to) и х\ = Жо(^о) соответствующие им функции y+it,xl) и y+it,x^) различны на Т.

Теорема 7. Пусть для пары (А, с) выполняются условия: 1) система функций h(t) = c(t)F(t,to) = {hi(t), ti2(t),..., hn(t)} вполне линейно неза­висима на Т; 2) у каждой нетривиальной линейной комбинации системы функций |/ii(Ј), /i2(?),..., hn(t)} существует хотя бы один корень-узел. То­гда пара с) положительно наблюдаема на Т.

"Крейн, М.Г. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи / М.Г. Крейн, А.А. Нудельман. - М.: Наука, 1973. - 552с.

15


В диссертации приведен ряд примеров, которые иллюстрируют условия

теоремы 7.

Теорема 8. Если функции |/ii(Ј), /12(^)5 • • • ? ^п(^)} образуют систему функций Чебышева порядка п — 1 наТ', то пара (А} с) полностью наблюда­ема, но не является положительно наблюдаемой.

Теорема 9. Равномерно наблюдаемая система (1) класса п положи­тельно наблюдаема тогда и только тогда, когда любое нетривиальное ре­шение уравнения y^n'(t) — fn{t)y^n~l\t) — ... — fi(t)y(t) = 0 имеет хотя бы один корень-узел на (to,ti).

В главах 3 и 4 описаны классы эквивалентности действия группы ли­нейных невырожденных непрерывно дифференцируемых преобразований на множестве систем наблюдения и на основе привлечения техники квазидиф­ференцирования7 предложен метод построения канонических форм Фро-бениуса для линейных нестационарных систем наблюдения, существенно ослабляющий известные ограничения на коэффициенты. Приведено доказа­тельство необходимых и достаточных условий существования канонических форм Фробениуса для равномерно наблюдаемых систем с квазидифферен-цируемыми коэффициентами. Для систем (А, с) Є Sn построено уравнение и получены условия существования и единственности его решений, позво­ляющие исчерпывающим образом дать ответ на вопрос о существовании и нахождении канонической формы. Предложена рекуррентная процедура нахождения коэффициентов канонической формы для равномерно наблю­даемых систем класса {Р, п\. Построена нижнетреугольная матрица P(t), относительно которой все выходы системы (А, с) п раз квазидифференциру-емы и с помощью которой можно построить матрицу наблюдаемости, иден­тифицирующую свойство наблюдаемости.

Совокупность вышеописанных результатов обосновывается с помощью следующих утверждений.

Лемма 7. Две системы (А} с) и (?>, d) из ?п принадлежат одной и той же орбите относительно действия группы Qnтогда и только тогда, когда их множества выходов Ут(А}с) и Ут(В}о1) совпадают.

Существенную роль при изучении классов эквивалентности играют пол­ные инварианты группы преобразований Qnна множестве систем наблюде­ния. Для того чтобы их определить обозначим через 1Zчасть множества Pn_i, состоящую из равномерно наблюдаемых систем и пусть lZn= 1ZГ\Т)п,

16


т.е. lZn— это множество равномерно наблюдаемых систем класса п. На мно­жестве lZnзададим отображение / по правилу:

f:nn^C(T,Rn),    f(A,c)(t) = sn(t)S-\t),(9)

где S(t) — матрица наблюдаемости пары (А, с), а векторная функция sn(t) находится из рекуррентных соотношений, аналогичных формулам (2}

Теорема 10. Отображение (9) является полным инвариантом дейст­вия группы Qnна множестве lZn.

Из теоремы 10 следует, что между множествами f(lZn) и lZn/Qnсуще­ствует взаимно однозначное соответствие. Иной способ характеризации ор­бит группы Qnна множестве !Znзаключается в том, чтобы каждой орбите поставить во взаимно однозначное соответствие некоторую систему по воз­можности простой (канонической) структуры. Учитывая хорошо известные результаты для автономных систем и канонические формы неавтономных систем (1) с бесконечно дифференцируемыми матрицами, представляется естественным в качестве канонических выбирать пары в форме Фробениуса


о о о

A°(t)


/0

0   ...

1

0   ...

0

1 ...

\о

0   ...


a0(t) \

Cli{t)

a2{t)

1   an-i(t)J


с


(0,   0,   ...   0,   1).         (10)


Нетрудно проверить, что если


С/= 2,3,


п


Г


то система (10) принадлежит классу (п — 1) и ее матрица наблюдаемости So(t) невырождена при всех (tЄ Т). Следовательно, пара (Л°,с°) равномер­но наблюдаема.

Обозначим через fj(A,c)(t) (j= 1, 2,... ,п) компоненты n-вектор-функ-ции f(A,c)(t): построенной по системе (А, с) Є !Zn. Введем в рассмотрение подмножество 7Znмножества !Znjэлементы (А} с) которого обладают свой­ством:

ЫА,с)еС*-\ТЛ) (j = l,2,...,n). Из доказательства теоремы 10 следует, что множество Ип инвариантно от­носительно действия группы Qn- Пусть Куп — совокупность всех систем вида (10) с функциями ctjиз множества CJ(T} Ж) (j= 0,1,. .., п — 1). Следующая теорема, основанная на анализе соотношения f(A} с) = /(А0, с0), показыва­ет, что множество орбит !Zn/Qn<параметризуется> системами из КУп.

17


Теорема 11. Любая система из множества кгп принадлежит классу !Z°nи в каждой орбите О Є !Z°n/Qnсуществует одна и только одна систе­ма (А0, с0) вида (10) с а3 Є С3{Т, Ж) (j= О,1,..., п - 1).

Например, при п = 3 для пары (А, с) Є 1Z\ функции ao(t), ai(t), а^) имеют вид

aQ(t) = h(t)-h(t) + h(t),    ax(t) = f2(t) -2hit),    a2(t) = h(t).

В диссертации приведены примеры, которые демонстрирует эффективность теоремы 11, а также то, что у равномерно наблюдаемых систем класса п — 1 канонические формы могут существовать, а могут и отсутствовать; что су­ществуют равномерно наблюдаемые системы класса п с полными инвариан­тами, не удовлетворяющими условиям гладкости fj(A, с) Є С^~1(Т} Ж)} кото­рые могут как иметь каноническую форму, так и не иметь ее. Приведенные примеры показывают, что, во-первых, все условия теоремы 11 существенны, а, во-вторых, вопрос о существовании канонических форм для систем (Л, с) из множества 7Z\7Z°nостается открытым.

В разделе 4.2 разработан метод нахождения канонической формы для заданной пары (Л, с) Є Sn (если такой формы не существует, то метод это устанавливает). Для этого по параметрам систем (Л, с) и (А0 , с0) построено дифференциальное уравнение

Q(t) = A\t)Q(t) - Q(t)A(t)    (t є T)                                          (11)

относительно (n x п)-матрицы Q(t), которая подчиняется условию

c°Q(t) = c(t)    (teT).(12)

Обозначим через qi(t) (i= 1,2,...,п) строки матрицы Q(t). Несложно убедиться, что условия (11), (12) равносильны при г = 1,2,...,п — 1 соот­ношениям

qn(t) = c{t), qn-i{t) = qn-i+i{t) + qn-i+i{t)A(t) - an-i{t)c{t),        (13)

q1(t)+q1(t)A(t)-ao(t)c(t) = 0    (teT).(14)

Пусть Cn= C(T, Шп) — множество всех непрерывных на отрезке Т n-вектор-строк; а — перестановка компонент строки v= (v\, г>2, • • • ? vn), дей­ствующая по следующему правилу:

a(v) = (v2, Vs, ..., Vn, Vi),

18


и р — проекция на первую координатную ось: pv= V\. Определим после­довательность операторов Vk: Sn х Сп —>¦ Сп (к = 1,2,...) следующим образом:

Vi(A,c,v){t) = c{t) + c{t)A{t) - c{t)pv{t),

V2(A,c,v)(t) = ^Ш^Ш + Vl(A,c,v)(t)A(t)-c(t)Mv(t)),

vM,^v)tt)J{V2{A^vm

Очевидно, область определения T>(Vk) каждого оператора Vkне пуста.

Далее важное значение имеет случай к = п. Поэтому приведем простое описание области определения D(Vn), выраженное в терминах квазидиф­ференцирования. Для любой функции vЄ Сп зададим нижнетреугольную ((п + 1) х (п + 1))-матрицу


P(v(t))


/     1        0  0

-vi(t)1  0

-v2(t)0  1

\-vn(t)0  0


...   0

о\

...   0

0

...   0

0

...   0

1/


15


Лемма 8. Тройка (A,c,v) принадлежит области определения операто­ра Vnтогда и только тогда, когда каждая выходная функция y(t) систе­мы с) п раз непрерывно квазидифференцируема относительно матрицы P(t) = P(v(t)).

Рассмотрим уравнение


VJA,c,v){t) = 0


(16)


относительно vЄ Сп. Из соотношений (13), (14) и построения оператора Vn(A,c,v)(t) легко вытекает, что если система (А, с) обладает канонической формой, то n-вектор-функция v(t) = (o;n_i(t), an-2(t), ..., o;o(t)) являет­ся решением этого уравнения. Поэтому справедливы следующие признаки отсутствия канонической формы.

Теорема 12. Пара (А, с) Є ?п не имеет канонической формы, если либо множество Т>а,с(Уп) = {vЄ Сп : (A,c,v)Є T>(Vn)} пусто, либо уравнение (16) неразрешимо.

Теорема 13. Если уравнение (16) разрешимо, но его решение не един­ственно, то система (А} с) не имеет канонической формы.

19


Пусть для системы (А, с) уравнение (16) построено. Обозначим через Qn(A,c) подмножество множества Vn(A,c), состоящее из элементов, отно­сительно которых каждая выходная функция системы (А, с) п раз непре­рывно квазидифференцируема. В силу леммы 8 множество Qn(A,c) не пу­сто. Выберем какую-либо матрицу Р Є Qn(A,c) и предположим, что пара (А, с) Є Sn равномерно наблюдаема относительно P{t). В силу леммы 2 она будет равномерно наблюдаемой и при любой Р Є Qn(A,c). Поэтому далее будем говорить просто о равномерной наблюдаемости.

Пусть пара (А, с) Є ?п фиксирована и Р Є Qn(A,c). Обозначим че­рез 1ZPчасть множества Sn, состоящую из всех равномерно наблюдаемых систем класса {Р, п}. Очевидно, семейство 1ZPинвариантно относительно действия группы Яп, т.е. вместе с каждой парой (B,d) Є 1ZPмножеству 1ZPпринадлежит и элемент G* (B,d), GЄ Яп-

Для любой системы (B,d) Є 1ZPсформируем ее матрицу наблюдаемости Sp(t) и зададим отображение

/Р:Тг?—>C(T,R"),    fp(B,d)(t) = sn(t)Sp1(t).(17)

Лемма 9. Отображение fpявляется полным инвариантом действия группы Яп на множестве 7Zpn.

С помощью теорем 12, 13 и леммы 9 доказана

Теорема 14 Равномерно наблюдаемая система (А} с) имеет канониче­скую форму, если и только если уравнение Vn(A,c,v)(t) = 0 разрешимо (и тогда его решение единственно).

В случае равномерной наблюдаемости пары (А, с) вопрос о канониче­ской форме исчерпывающим образом описывается уравнением (16). Одна­ко, пока нет каких-либо методов отыскания его решений. Поэтому в разделе 4.2 описана рекуррентная процедура построения строки v(t): удовлетворя­ющей уравнению (16), основанная в какой-то части на модификации спосо­ба нахождения формы Хессенберга, разработанного в главе 2. Кроме того, в процессе реализации указанной процедуры построена нижнетреугольная матрица P(t), относительно которой все выходы системы (А, с) п раз квази-дифференцируемы и с помощью которой можно построить матрицу наблю­даемости, идентифицирующую свойство равномерной наблюдаемости.

Предположим, что каноническая форма (10) существует. Это значит, что найдется такая матрица GЄ Яп-, чт0

G-l(t)A(t)G(t) - G-l(t)G(t) = A°{t),    c(t)G(t) = с0.                           (18)

20


С помощью метода ортогонализации Грама-Шмидта запишем G{t) в виде произведения G{t) = G0{t)G&{t) ортогональной непрерывно дифференци­руемой матрицы G0{t) и верхнетреугольной непрерывно дифференцируемой матрицы (7д(?). Обозначим через

pn(t),   pn-l(t),   . ..,   pi(t)

соответственно первую, вторую, .. . ,п-ую строки матрицы G'0{t) (штрих оз­начает транспонирование), а через Qij{t) — элементы матрицы G&{t). Оче­видно, функции Pi(t) и Qij{t) удовлетворяют соотношениям

9u(t)^0, \\Pi(t)\\ = l, Рі(Щ(і) = 0 (ij= 1,2,...,п; іфз).(19)

Используя разложение G(t)  = G0(t)G^(t)} представим равенство (18) следующим образом

(С;(0Л(0+С7;(0)Со(0Сд(0 = Сд(0Л0(0+С7д(0,ф)Со(0 = с°СХ1(0-(20)

Простой анализ тождества c(t)G0(t) = c°G~^(t) с учетом ограничений (19) приводит к соотношениям

||с(*)|| ф О,    Pl(t) = c(t)\\c(t)\\-\gnn(t) = \Ш\\-1.(21)


м:

Положим В{t) = (G'0(t)A{t) + G'0(t) \G0{t) и обозначим через b{j(t) элемен­ты этой матрицы. Если для системы (А, с) существует каноническая форма Фробениуса (10), то, учитывая свойства матриц G0{t) и G&{t) можно рекур-рентно определить функции b{j(t), Pi{t) следующим образо

bw(t) = \\c(t)\\,Pl(t) = ф)\\ф)\\-г(22)

при г = 1, j= 0, а при i = l,2,...,n — 1 задав их соотношениями

bn+l.hn+l.J{t) = {pl{t)A{t)+pl{t))p'J{t)    (j = 1,2,..., г),                          (23)

г

bn+i-i,n-i{t) = \\pi{t)A(t) + pi{t) - ^2bn+i-i,n+i-k{t)pk{t)\\,        (24)

k=i

i

Pi+i(t) = Ь-1+1-ьп-г(і){Рг(і)А(і) +pi(t) -J2bn+i-^+i-k(t)pk(t))i       (25)

k=l

blj{t) = (pn{t)A{t)+pn{t))p'n+l_J{t)    (j = l,2,...,n), а также элементы матрицы (7д(?):

9"М)=Ш\' 9'-u-l{t) = eky(26)

21


9ij+i(t) = Y^ b*k(t)9kj(t) - 9ij(t),(27)

где вычисления осуществляются последовательно для наборов индексов i = 1, j = 2,3, ...,п-1; г = 2, j = 3,4,... ,п - 1; ...; i = n-l,j = n-l. Следовательно, можно определить функции

п                                                       /г—1

(t)Vj(t) - g„+l-k,n(t)

Mt) = '------------------------------ ^-------------- m------------------------------        (28)

(fc = l,2,...,n).

Теорема 15. Система (А, с) обладает канонической формой (10) тогда и только тогда, когда построенные функции fjij(t), Pi(t), (г = 1,2,...,п), (j= г, г + 1,..., п) непрерывно дифференцируемы на Т и при любом tЄ Т выполняются условия

Ьм-iW^O (г = 1,2,...,тг);                                     (29)

коэффициенты cvj(t) (j= 0,1,..., n — 1) в этом случае находятся по фор­мулам cvj(t) = vn-j(t) (j= 0,1,..., п — 1); где г>й(?) — функции (28).

Пусть функции &у(?) найдены и верны неравенства (29). Используя функции bij{t) по формуле (8) легко находится матрица P(t): относительно которой существуют квазипроизводные выходных функций системы (А, с).

Теорема 16. Если выполняются условия теоремы 15, то каждая вы­ходная переменная y(t) системы (А} с) п раз непрерывно квазидифференци-руема по матрице P(t).

Вышеизложенное обосновывает следующий метод отыскания канониче­ской формы.

1.  По формулам (21), (22) - (25) вычисляем функции b{j(t) и строки

Pl(t),   p2(t),   ...,   pn(t).

  1. С помощью соотношений (26), (27) находим элементы Qij{t).
  2. По формулам (28) определяем функции Vk(t) (к = 1, 2,... , п) и пола­гаем (ij{t) = vn-j(t) (j= 0,1,..., n — 1).

Если хотя бы один шаг из 1 - 3 не осуществим, то для системы (А, с) нет канонической формы относительно группы Qn.

22


Работоспособность предложенного метода построения канонической формы продемонстрирована на ряде примеров. Один из примеров уста­навливает, что с помощью нашей техники можно получить каноническую форму, когда нет требуемой гладкости полного инварианта, а второй, — когда даже не существует классической матрицы наблюдаемости.

Из изложенных результатов следует, что если система (1) имеет кано­ническую форму (Л°,с°), то любой ее выход y(t) п раз непрерывно квази-дифференцируем относительно матрицы P{t) вида (15) при Vi(t) = an-i(t) (i= 1,2,...,п). Следовательно, пара (А, с) принадлежит классу {Р, п} и функция у{t) удовлетворяет квазидифференциальному уравнению


d_ dt

d_ ~dt

-^--an.1(t)y(t)\ -an.2(t)y(t)\ -...\ -ao(t)y(t) = 0.

Таким образом, можно утверждать, что необходимым условием наличия ка­нонической формы является существование такой нижнетреугольной мат­рицы P{t) с непрерывными элементами, что каждая выходная переменная у{t) системы (1) п кратно непрерывно квазидифференцируема относительно ее и служит решением указанного квазидифференциального уравнения.

Преобразования группы Qnне нарушают свойства наблюдаемости линей­ных систем. Однако, если необходимо сохранить некоторые другие свойства системы, то возможные преобразования должны удовлетворять определен­ным дополнительным условиям. Это приводит к задаче построения канони­ческих форм относительно заданных подгрупп группы преобразований Qn. Впервые в теории канонических форм переход от группы Qnк произвольным ее подгруппам осуществлен в работах ' для линейных систем управления со скалярным входом, обладающих достаточно гладкими коэффициентами.

Выберем какую-либо подгруппу С группы Qnи скажем, что система (1) обладает канонической формой относительно группы С, если существует такое преобразование GЄ ?, что G* (А, с) = (Л°,с°). Обозначим через Ос(А,с) орбиту действия группы С на множестве Еп, проходящую через точку (Л, с). В разделе 4.3 установлены условия существования канониче­ской системы (Л°, с0) относительно группы С и указан способ ее построения.

Лемма 10. Если система (1) обладает канонической формой относи­тельно группы С, в которой содержится группа всех постоянных невы-

уГайшун, И.В. Существование канонических форм линейных нестационарных систем управления относительно экспоненциальной группы / И.В. Гайшун // Дифференц. урав­нения. - 1998. - Т. 34, №6. - С. 727 - 731.

Гайшун, И.В. Канонические формы линейных нестационарных систем управления от­носительно различных групп преобразований / И.В. Гайшун // Автоматика и телемеха­ника. - 1999. - №2. - С. 11 - 18.

23


рожденных матриц, то найдется такой элемент Р Є Vn{A,c), что мат­рица наблюдаемости Sp(t), построенная с его помощью, принадлежит множеству С.

Если в лемме 7 заменить группу Qnнекоторой ее подгруппой С, то она, вообще говоря, не верна. Однако справедлива

Лемма 11. Две системы (А, с) и (B,d) из ?п эквивалентны относи­тельно группы С тогда и только тогда, когда У(А}с) = y(B,d) и при некоторой обратимой матрице Goматрица FA(t,to)GoFgl(t,to) принад­лежит множеству С.

Прежде чем переходить к построению полного инварианта, сформулиру­ем некоторые свойства множеств Vn{A^c).

  1. Если пара (А, с) Є ?п имеет класс п, то множеству Vn(A,c) принад­лежат все невырожденные нижнетреугольные матрицы с п раз непрерывно дифференцируемыми элементами.
  2. Если две системы (А, с) и (B,d) класса п содержатся в одной орбите действия группы С на Еп, то Vn(A, с) = Vn(B, d).
  3. Если пары (А, с) и (B,d) не эквивалентны относительно группы С и хотя бы одно из множеств Vn(A,c) или Vn(B,d) не пусто, то эти множества различны.
  4. Если множества Vn(A,c) и Vn(B,d) не равны, то системы (А, с) и (B,d) лежат в разных орбитах действия любой группы С на множестве Еп.

Как и в случае группы Qn:распределение систем наблюдения по классам эквивалентности относительно группы С основано на свойствах инвариан­тов, а существование канонических форм следует из разрешимости урав­нений, построенных с помощью полных инвариантов. Поэтому в разделе 4.3 указано множество систем наблюдения, для которых такие инвариан­ты вычислены. Пусть P{t) — произвольный элемент из Ып{Т). Определим множество Т*{Р) С Sn по правилу

Р(Р) = Р,с)єЕв: PeVn(A,c)}.

Обозначим через Т> (Р) подмножество множества Т>(Р): состоящее из всех равномерно наблюдаемых систем класса {Р,п}. Множество Т) (Р)} очевид­но, не пусто и инвариантно относительно группы С Зададим отображение fP: VR(P) > C(T}Rn) по формуле (17).

Лемма 12. Если две пары (А, с) и (B,d) из множества VR{P) эквива­лентны относительно группы С, то fp(A,c) = fp(B,d), т.е. отображе-

24


ние fp(A,c) постоянно на орбите Ос(А,с) = Oc(B,d). Иначе говоря, fp— инвариант действия группы С на множестве VR(P).

Для описания множества, на котором отображение (17) является полным инвариантом, выделим в множестве Т> (Р) подмножество систем T)R(P)^ матрицы наблюдаемости Sp(t) которых принадлежат группе С. Далее счи­таем, что группа С содержит группу всех обратимых постоянных матриц.

Теорема 17. Отображение fpявляется полным инвариантом дей­ствия группы С на множестве VR(P).

В разделе 4.3 получена формула, выражающая связь отображений fpи fwпри различных матрицах P(t) и W(t) из множества Ып{Т).

Отметим, что построение канонической формы относительно группы Qnосуществлялось в два этапа. Сначала система (А, с) ортогональным преоб­разованием переводилась в форму Хессенберга (Н,д)7 а затем хессенбергова форма верхнетреугольной матрицей представлялась в каноническом виде (Л°,с°). Такая процедура существенно использует тот факт, что с помощью ортогонализации Грама-Шмидта любую матрицу GЄ Qnможно записать в виде произведения ортогональной и верхнетреугольной матриц, содержа­щихся в множестве Qn. В случае произвольной группы это не всегда возмож­но.

В главе 5 предложен и обоснован алгоритм описания информационных множеств     для системы наблюдения

x(t) = A(t)x(t) + B(t)C(t)    (*єТ=Мі]),                              (30)

y(t) = c(t)x(t) + f(t)№   (ten(зі)

12 с помехами волновой структуры

№ = Щ*)?о,    ^о Є Kfc.                                   (32)

Здесь x(t) — n-вектор состояний в момент t] A(t)} B(t) и W(t) — (nx n)-, (nx ?)- и (? x &)-матричные кусочно-непрерывные функции на Т; c(t) и fit) — соответственно п- и ?-вектор-строки, элементы которых кусочно-непрерывны на Т.

Указанный алгоритм основан на преобразование равномерно наблюдае­мых систем класса п (или систем класса {Р, п}) к канонической форме.

Куржанский, А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А.Б. Куржанский. - М.: Наука, 1977. - 392с.

Джонсон, С. Теория регуляторов, приспосабливающихся к возмущениям / С. Джонсон // Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. - М.: Мир, 1980. -С. 253 - 320.

25


Теорема 18. Пусть для пары (А} с) существует каноническая форма Фробениуса. Тогда информационное множество Х(т,у), соответствующее выходной функции y(t) системы (30); (31) с помехами волновой структуры

(32), имеет вид Х(т,у) = Iх Є Жа :   х = х(т) = G(t)4!z,

z% = {аг - ^2 hjtoj) ехр(Агт), г = 1, 2,..., щ ^ Є К, jЄ /* J.

Подчеркнем, что все параметры, входящие в формулировку теоремы 18, вычислены без использования фундаментальной матрицы системы (30).

Особый интерес представляет случай, когда в присутствии помех по из­вестной выходной функции можно однозначно определить начальное состо­яние. В этом случае информационное множество состоит из одной точки, а система (30) - (32) называется идеально наблюдаемой. В диссертации по­лучены достаточные условия идеальной наблюдаемости в терминах матриц Грама, построенных по системам функций, которые выражены через исход­ные параметры системы (30) - (32).

В главе 6 установлена связь канонических форм дифференциальных си­стем наблюдения и их дискретных аппроксимаций. В монографии раз­работаны процедуры построения канонических форм линейных дискретных систем при условии их тотальной наблюдаемости . Поэтому естественно по­пытаться использовать этот факт для построения канонических форм непре­рывных систем, используя следующую схему. Сначала с помощью аппрок­симации Эйлера переходим от дифференциальной системы к дискретной, находим условия тотальной наблюдаемости последней и определяем ее ка­ноническую форму, а затем переходим к пределу, неограниченно уменьшая шаг дискретизации.

Пусть на множестве (а, Ь) С Ж. задана система наблюдения

x(t) = A(t)x(t),    y(t) = c(t)x(t),(33)

где A(t) — непрерывная (nx п)-матрица, c(t) — n-вектор-строка с непре­рывными элементами. Выберем произвольный отрезок Т = [to,ti]С (а,Ь) и, аппроксимируя производную x{t) разностями Эйлера, перейдем к дискрет­ной системе

z(T + h) = (E + hA{r))z{r),    у(т) = c(t)z(t).(34)

Здесь г Є Zh = {to—(nl)h,... }to-h}to}to+h}... ,ti,ti+h,... ,ti + (nl)h},

ZhС (a, 6), h=---------- , am — достаточно большое целое число.

m

Гайшун, И.В. Системы с дискретным временем / И.В. Гайшун. - Минск: Ин-т мате­матики НАН Беларуси, 2001. - 400с.

26


Считая величину шага hпока фиксированной, предположим, что си­стемы (33), (34) допускают канонические формы и матрицы A°(t), В®(т) коэффициентов этих форм определены функциями

a0{t), CKi(t), . ..,an_i(Ј) {t Є Т) и/30(т, h), pi{r,h), ... ,/3n_i(r, h) (т є Zfe).

Хотя матрица A°(t) и имеет форму Фробениуса, однако матрица Е + hA°(r) матрицей Фробениуса не является. В разделе 6.1 указано преобразование подобия Go = Go(h): приводящее ее к форме Фробениуса. Введем в рассмотрение функции

ро(т, h) = h~n(#,(т, К) + А (г, К) + .. • + /Зп_! (г, /i) - 1) ,

№(r,/i) = /i^^q/3,(r,/i)-C^ (г = 1,2,...,п-2),                                         (35)

.?=*


pn-i{T,h) = h 1(рп-і{т,К)-п),

где

Г        7'!

І > h

П!

c) = { ад-г

О,  j < г.

В разделе 6.1 доказан ряд утверждений, позволяющих ответить на во­прос, когда при h—>¦ 0 каноническая форма системы (34) переходит в кано­ническую форму системы (33).

Теорема 19. Пусть дифференциальная система (33) равномерно на­блюдаема на множестве (а, Ъ). Тогда для любого отрезка Т = [to, t\\ С (а, Ъ) существует такое число ho> О, что дискретная система (34) тоталь­но наблюдаема на множестве Z^ для всех 0 < h< hoи, следовательно, имеет на Z^ каноническую форму

K,c0) = (50(/3o(r,/i),A(r,/i),...,/3n_1(r,/i)),c°).

Если функции pi(r}h), определенные формулами (35)  по коэффициентам 13{{т, К), равномерно сходятся, то на отрезке Т существует каноническая

форма (Л°,с°)  =   (А0(«о(?),cki(?),... ,ап-\(t)),с°]   системы (33); причем

cvi(t) = \impi(r, h) (i = 0,1,..., n — 1).

В главе 5 в случае волновых помех предложен способ построения ин­формационных множеств, использующий, в основном, аналитические вы­числения. Однако на практике часто о помехах известно лишь то, что они

27


принимают значения из некоторого ограниченного множества или, как го­ворят, геометрически ограничены. В разделе 6.2 для линейных дискретных систем наблюдения предложен способ построения априорной гарантирую­щей операции оценивания при условии, что возможные реализации помех принадлежат полиэдрам. Пусть дана система линейных дискретных неста­ционарных уравнений

x(t + l) = A(t)x(t) + D(t)v(t),    ?Є {0,1,...,Х-1},                                (36)

где x{t) — n-вектор-столбец состояния в момент t; A(t): D(t) — матрицы размеров (п х n), (п х kv) соответственно; v(t) — /^-мерный вектор воз­мущений, информация о возможных реализациях которого исчерпывается заданием его области допустимых значений

У={«ЄГ:   Vv<f,v*<v<v*},

где nv= N-kv;vстолбец, составленный из векторов г>(0), г>(1), ..., v(Nl); V— заданная матрица; /, г>*, V* — известные векторы. Предположим, что информацию о системе (36) можно получать с помощью выходной функции y(t)7 связанной с вектором состояния x{t) соотношением

y{t) = C(t)x(t) + B(t)Ј(t), ІЄТ# = {tut2, ¦ ¦ ¦,U} С {0,1,.. ., N}.

Здесь C(t) и B(t) — известные (m х п)- и х ?^)-матрицы; Т$ — заданная программа наблюдений, ?(?) — /^-мерный вектор помех, возможные реали­зации которого принадлежат множеству

8 = {?еШ*:G(<g,    & < С < f},

где ^ — столбец, составленный из векторов Ј(Јi), ^(^2)5 ¦ ¦ ¦ 1 ?(?#); Gза­данная (т^ х щ) матрица; щ = $ • к^; д, ?*,?* — заданные векторы соответ­ствующих размерностей. Считаем, что информация о начальном состоянии Хо = х(0) системы (36) заключается лишь в задании области Хо его возмож­ных значений (Хо — компактное подмножество из Жа).

Допустим, что в системе (36) реализовались некоторые неизвестные на­чальное состояние XqЄ Хо, возмущение v° Є V и помеха ?ф Є ?, которые породили выходную функцию у° = (y0(ti) 2/°(^2) • • • y0(tti)) • Для ряда задач оптимального управления и проектирования сложных систем (напри­мер, при синтезе управления типа обратной связи) требуется знание либо вектора состояния системы в текущий момент времени, либо некоторой ли­нейной комбинации его компонент. Поэтому важное значение имеют оценки линейных функционалов Xq> р'хо (р Є Шп) на информационном мно­жестве Ло(уФ)- Эти оценки заключаются в нахождении таких чисел Є\р: E2V)

28


что

Zip< р'%0 < Z'ivдля любых    хо Є Хо(у0).

Величина єр = Є2Р Є\р называется точностью оценивания значений линей­ного функционала р'хо на информационном множестве Х^{у<>).

Предложена процедура вычисления априорных оценок є\р, Є2Р на осно­ве построения операции оценивания, которая ориентирована на получение наилучшей оценки для <наихудшего> выходного сигнала. При нахождении такой операции используется только информация о параметрах системы и об ограничениях на возмущения и помехи. Подчеркнем, что она определя­ется до получения выходной функции у{t) (tЄ Т#). Сами же оценки Є\р и Є2Р вычисляются по полученным значениям выходного сигнала. Построение априорной гарантирующей операции оценивания сводится к решению би­линейной минимаксной задачи с линейными несвязанными ограничениями. В диссертации разработан, обоснован и программно реализован алгоритм решения билинейной минимаксной задачи

д(у) = таху'Сх > min,

X= {х Є W1: Ах < 6, Ъ, < х < &*},

Y = {уЄ Rm : By = d, d* < у < d*}.

Здесь С, Д В — матрицы размеров (тхп)} (кхп): (qх т) соответственно; 6, &*, &*, d:d*, d* — заданные векторы. Предполагается, что rank В = q. Пред­лагаемый алгоритм основан на методе опорных планов и идее уменьшения оценки субоптимальности    .

Габасов, Р. Методы линейного программирования / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова. Минск: БГУ, 1980. - Ч. III - 368с.

29


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты диссертации.

  1. Предложен метод исследования наблюдаемости, основанный на ква-зидифференцируемости выходных переменных и позволивший существенно ослабить известные требования гладкости коэффициентов. Доказано, что свойство равномерной наблюдаемости эквивалентно аппроксимативной на­блюдаемости, т.е. возможности с помощью (^-последовательностей сколь угодно точно оценивать текущее состояние системы без дифференцирования выходной функции. Результаты опубликованы в [7], [8], [14].
  2. Доказаны необходимые и достаточные условия существования канони­ческих форм Фробениуса для равномерно наблюдаемых систем с квазидиф-ференцируемыми коэффициентами, а также разработан и обоснован метод их построения. Результаты опубликованы в [3], [4], [5], [6], [8].
  3. Установлено, что выходные функции точечно наблюдаемых систем являются многочленами по системе функций Чебышева, на основе чего до­казаны необходимые и достаточные условия точечной, равномерно точечной и положительной наблюдаемости. Указаны взаимосвязи между понятиями равномерной наблюдаемости, точечной наблюдаемости и равномерно точеч­ной наблюдаемости. Результаты опубликованы в [9], [12], [13].
  1. Предложен и обоснован алгоритм описания информационных мно­жеств для равномерно наблюдаемых систем с помехами волновой структу­ры. Получены достаточные условия идеальной наблюдаемости и ненаблюда­емости в терминах обобщенной матрицы Грама. Результаты опубликованы в [9], [15], [19], [20].
  2. Доказано, что дискретная аппроксимация по схеме Эйлера равномер­но наблюдаемой дифференциальной системы тотально наблюдаема и что ее каноническая форма (при условии существования пределов некоторых функций, построенных по ее коэффициентам) сходится при неограниченном уменьшении шага дискретизации к канонической форме дифференциальной системы. Результаты опубликованы в [1], [2].
  3. Разработан и обоснован алгоритм решения билинейной минимаксной задачи с линейными ограничениями. Дано его применение к построению априорной гарантирующей операции оценивания состояний линейных дис­кретных систем наблюдения с помехами. Результаты опубликованы в [18], [21], [24], [25].

30


Рекомендации по практическому использованию результатов.

Полученные в диссертации результаты могут найти применение при кон­струировании систем автоматического регулирования, при проектировании навигационных систем, при построении управления типа обратной связи в условиях неопределенности, при создании эффективных методов анализа и проектирования систем управления и др.

Проведенное в диссертации исследование позволило разработать и обос­новать новые методы исследования задач наблюдения в линейных нестаци­онарных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, дающие концептуальное развитие теории наблюдаемости для таких систем.

31


СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ СОИСКАТЕЛЯ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монографии

1.  Астровский, А.И. Наблюдаемость линейных нестационарных систем /

А.И. Астровский. - Минск: МИУ, 2007. - 220с.

Статьи в научных журналах

  1. Астровский, А.И. Связь между каноническими формами линейных диф­ференциальных систем наблюдения и каноническими формами их дискретных аппроксимаций / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Дифференц. уравнения. -2011. - Т. 47, т. - С. 954 - 962.
  2. Астровский, А.И. Канонические формы линейных нестационарных систем наблюдения с квазидифференцируемыми коэффициентами относительно раз­личных групп преобразований / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Дифференц. уравнения. - 2011. - Т. 47, №2. - С. 254 - 263.
  3. Астровский, А.И. Один способ построения канонических форм Фро-бениуса линейных нестационарных систем наблюдения / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46, №10. - С. 1479 - 1487.
  4. Астровский, А.И. Квазидифференцируемость и канонические формы ли­нейных нестационарных систем наблюдения / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46, №3. - С. 423 - 431.
  5. Астровский, А.И. Преобразование линейных нестационарных систем на­блюдения со скалярным выходом к каноническим формам Фробениуса / А.И. Астровский // Доклады НАН Беларуси. - 2009. - Т. 53, №6.     С. 16-21.
  6. Астровский, А.И. Квазидифференцируемость и наблюдаемость линейных нестационарных систем / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Дифференц. урав­нения. - 2009. - Т. 45, Ml. - С. 1567 - 1576.
  7. Астровский, А.И. Канонические формы линейных нестационарных систем наблюдения и хессенбергова наблюдаемость / А.И. Астровский // Доклады РАН. - 2002. - Т. 383, №4. - С. 439 - 442.

32


9.  Астровский, А.И. Обобщенная матрица Грама и ее применение к проблеме

наблюдаемости линейных нестационарных систем / А.И. Астровский // Матем.

заметки. - 2001. - Т. 2, Вып. 69. - С. 163 - 170.

  1. Астровский, А.И. Канонические формы линейных нестационарных си­стем наблюдения со скалярным выходом и хессенбергова наблюдаемость / А.И. Астровский // Труды Ин-та математики НАН Беларуси. - Минск, 2001. -Т. 10. - С. 21 - 25.
  2. Астровский, А.И. Равномерно наблюдаемые линейные нестационарные системы со многими выходами и их канонические формы / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Дифференц. уравнения. - 2000. - Т. 36, №1. - С. 18 - 25.
  3. Астровский, А.И. Равномерно точечная наблюдаемость линейных не­стационарных систем / А.И. Астровский // Доклады НАН Беларуси. -1999. - Т. 43, №3. - С. 9 - 12.
  4. Астровский, А.И. Положительная наблюдаемость линейных нестацио­нарных систем / А.И. Астровский // Известия НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. - 1999. - №2.     С. 33    39.
  5. Астровский, А.И. Равномерная и аппроксимативная наблюдаемость ли­нейных нестационарных систем / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Автоматика и телемеханика. - 1998. - №7.     С. 3     13.
  6. Астровский, А.И. Об информационных множествах для линейных неста­ционарных систем с помехами волновой структуры / А.И. Астровский // Изве­стия РАН. Теория и системы управления. - 1998. - №1. - С. 44 - 49.
  7. Астровский, А.И. Управляемость линейных нестационарных систем в классе обобщенных функций конечного порядка / А.И. Астровский, И.В. Гай­шун // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1998. - №2.    С. 24 - 30.
  8. Гайшун, И.В. Описание множества равномерно наблюдаемых линейных нестационарных систем / И.В. Гайшун, А.И. Астровский // Доклады АН Бела­руси. - 1996. - Т. 40, №5. - С. 5 - 8.
  9. Астровский, А.И. Билинейные минимаксные задачи с линейными ограничениями: теория и вычислительный эксперимент / А.И. Астровский, С.К. Корженевич // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1993. - Т. 33, №6. - С. 837 - 856.
  10. Астровский, А.И. Об одном способе решения задачи наблюдения-оцени­вания в линейных нестационарных системах / А.И. Астровский // Дифференц. уравнения. - 1988. - Т. 24, №6. - С. 929 - 935.

зз


  1. Астровский, А.И. Об одном способе построения информационных мно­жеств в линейных нестационарных системах наблюдения / А.И. Астровский // Доклады АН БССР. - 1988. - Т. 32, №9. - С. 773 - 776.
  2. Астровский, А.И. Априорный способ построения гарантирующих опера­ций в задачах оценивания начального состояния / А.И. Астровский // Доклады АН БССР. - 1987. - Т. 31, №9. - С. 795 - 798.

Статьи в книгах, сборниках

  1. Астровский, А.И. Операторное уравнение и его аппроксимация на мно­жестве линейных нестационарных систем наблюдения / А.И. Астровский // Труды Минского ин-та управления. - 2005. - №1. - С. 89 - 96.
  2. Астровский, А.И. К теории наблюдения-оценивания в линейных неста­ционарных системах с помехами волновой структуры / А.И. Астровский // Ак­туальные задачи теории динамических систем управления: сб. научных статей / Академия наук БССР, Ин-т математики; под ред. Р. Габасова, И.В. Гайшуна, Ф.М. Кирилловой. - Минск: Наука и техника, 1989. - С. 111 - 119.
  3. Астровский, А.И. Решение билинейной минимаксной задачи с линейны­ми ограничениями (MPBLA, DMPBLA) / А.И. Астровский // Программное обеспечение ЭВМ: сб. научных статей / Академия наук БССР, Ин-т матема­тики; под ред. Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой. - Минск: Ин-т математики АН Беларуси, 1985. - Вып. 55. - С. 85 - 93.
  4. Астровский, А.И. Алгоритм решения билинейной минимаксной задачи с линейными ограничениями / А.И. Астровский // Конструктивная теория экс­тремальных задач: сб. научных статей / Белорусский гос. ун-т; под ред. Р. Га­басова, Ф.М. Кирилловой. - Минск: Университетское, 1984. - С. 156 - 172.

Материалы научных конференций

  1. Астровский, А.И. Орбитальный метод исследования структурных свойств линейных нестационарных систем / А.И. Астровский // Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика): материалы меж-дунар. научн.- техн. конф., Минск, 16 - 20 мая 2006г. / Белорус, национальный техн. ун-т. - Минск, 2006. - С. 128 - 129.
  2. Астровский, А.И. Орбитальный метод исследования линейных нестаци­онарных систем / А.И. Астровский // Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика): труды междунар. конф., Минск: Ин-т ма­тематики НАН Беларуси, 2005. - Т. 1. - С. 107 - 113.

34


  1. Astrovskii, A.I. On guaranteed estimation theory in linear discrete-time systems / A.I. Astrovskii // Proceedings of the 7-th IFAC Workshop on control application of nonlinear programming and optimization, Tbilisi. 1988.     P. 97    98.
  2. Astrovskii, A.I. Bilinear minimax problem and its applications / A.I. Astrovskii // Proceedings of the Internat. Tagung <Mathematische Optimierung-Theorie und Anwendungen>, Eisenach-Ilmenau(DDR). 1986.     P. 7    10.
  3. Астровский, А.И. Гарантированные оценки в задачах наблюдения в усло­виях неопределенности / А.И. Астровский // Optimale Steurung-Theorie und Anwendungen: Proceedings of the International Conf., Leipzig, 1983r. / Leipzig, 1983. - P. 10 - 12.

Тезисы научных конференций

  1. Астровский, А.И. Канонические формы Фробениуса для непрерывных и дискретных систем наблюдения / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Анали­тические методы анализа и дифференциальных уравнений: тезисы докладов междунар. конф., Минск, 12 - 17 сентября 2011г. / Белорус, гос. ун-т, Ин-т математики НАН Беларуси. - Минск, 2011.     С. 23     24.
  2. Астровский, А.И. Канонические формы линейных нестационарных си­стем наблюдения / А.И. Астровский // Дифференциальные уравнения и топо­логия: тезисы докладов междунар. конф., посвященной 100-летию со дня рож­дения Л.С. Понтрягина, Москва, 17 - 22 июня 2008г. / Матем. ин-т им. В.А. Стеклова РАН, МГУ им. М.В. Ломоносова. - Москва, 2008. - С. 318.
  3. Астровский, А.И. Взаимосвязь канонических форм Фробениуса для непрерывных и дискретных систем наблюдения / А.И. Астровский // Динами­ческие системы: устойчивость, управление, оптимизация: тезисы докладов меж­дунар. конф. к 90-летию со дня рождения академика Е.А. Барбашина, Минск, 29 сентября - 4 октября 2008г. / Ин-т матем. НАН Беларуси. - Минск, 2008. -С. 56 - 58.
  4. Астровский, А.И. Хессенбергова наблюдаемость и канонические формы линейных нестационарных систем наблюдения / А.И. Астровский // Анали­тические методы анализа и дифференциальных уравнений: тезисы докладов междунар. конф., Минск, 15 - 19 февраля 2001г. / Белорус, гос. ун-т, Ин-т ма­тематики НАН Беларуси. - Минск, 2001. - С. 21 - 22.
  5. Астровский, А.И. Проблема канонических форм Фробениуса для линей­ных нестационарных систем наблюдения / А.И. Астровский // VIII Белорус.

35


матем. конф.: тезисы докладов, Минск, 19 - 24 июня 2000г. Ч. 4. / Белорус. мат. об-во, Белорус, гос. ун-т, Ин-т математики НАН Беларуси, Госкомитет по науке и технологиям, М-во образования РБ. - Минск, 2000. - С. 54 - 55.

  1. Астровский, А.И. Равномерно точечная наблюдаемость линейных не­стационарных систем / А.И. Астровский // Еругинские чтения VI: тезисы до­кладов междунар. мат. конф., Гомель, 20 - 21 мая 1999г. Ч. I. / М-во образования РБ, Белорус, матем. об-во, Белорус, гос. ун-т, Ин-т математики НАН Беларуси, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины. - Гомель, 1999. - С. 88 - 89.
  2. Астровский, А.И. Взаимосвязь равномерной и равномерно точечной на­блюдаемости линейных нестационарных систем / А.И. Астровский // Анали­тические методы анализа и дифференциальных уравнений: тезисы докладов междунар. конф., Минск, 14 - 18 сентября 1999г. / Белорус, гос. ун-т, Ин-т математики НАН Беларуси. - Минск, 1999. - С. 30.
  3. Астровский, А.И. Квазипроизводные и форма Хессенберга для линейных нестационарных систем наблюдения / А.И. Астровский // Еругинские чтения V: тезисы докладов междунар. матем. конф., Могилев, 26 - 28 мая 1998г. Ч. I. / М-во образования РБ, Белорус, матем. об-во, Белорус, гос. ун-т, Ин-т мате­матики НАН Беларуси, Ин-т прикладной оптики НАН Беларуси, Могилевский гос. ун-т им. А.А.Кулешова. - Могилев, 1998. - С. 108 - 109.
  4. Астровский, А.И. Условия наблюдаемости линейных нестационарных си­стем с непрерывными коэффициентами / А.И. Астровский // Междунар. конф. <Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация:», посвящен­ная 80-летию академика Е.А. Барбашина: тезисы докладов конф. / Ин-т мате­матики НАН Беларуси, Белорус, гос. ун-т. - Минск, 1998. - Т 1. - С. 40 - 43.
  5. Астровский, А.И. Управляемость линейных нестационарных систем и обобщенная матрица Грама / А.И. Астровский // Понтрягинские чтения-VII: тезисы докладов Весенней Воронежской матем. школы, Воронеж;, 1996г. / Во­ронежский гос. ун-т. - Воронеж;, 1996. - С. 1.
  6. Астровский, А.И. Равномерная наблюдаемость линейных нестационар­ных систем / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Еругинские чтения III: тезисы докладов междунар. матем. конф., Брест, 1996г. / АН Беларуси, М-во образо­вания и науки РБ, Белорус, матем. об-во, Брестский гос. ун-т. - Брест, 1996. -С. 29.
  7. Астровский, А.И. Наблюдаемость линейных нестационарных систем с выходом типа насыщения / А.И. Астровский // VII Белорус, матем. конф.:

36


тезисы докладов, Минск, 1996г., 4.2. / Белорус, мат. об-во, Белорус, гос. ун-т, Ин-т математики НАН Беларуси, Госкомитет по науке и технологиям, М-во образования РБ. - Минск, 1996. - С. 188 - 189.

  1. Астровский, А.И. Равномерная наблюдаемость и приводимость линей­ных нестационарных систем наблюдения / А.И. Астровский // Еругинские чтения II: тезисы докладов матем. конф., Гродно, 1995г. / АН Беларуси, М-во образования и науки РБ, Белорус, матем. об-во, Гродненский гос. ун-т им. Я. Купалы. - Гродно, 1995. - С. 8.
  2. Астровский, А.И. О типах управляемости и наблюдаемости линейных нестационарных систем / А.И. Астровский // Вторые республ. чтения по обык­новенным дифференц. уравнениям, посвященные 75-летию Ю.С. Богданова: те­зисы докладов междунар. конф., Минск, 5-9 декабря 1995г. / М-во образования и науки РБ, Белорусский гос. ун-т, Ин-т математики АН Беларуси, Белорус, ма­тем. об-во. - Минск, 1995. - С. 8.
  3. Астровский, А.И. Об информационных множествах для нестационарных систем / А.И. Астровский // Шестая Всесоюзн. конф. по управлению в меха­нических системах: тезисы докладов, Львов, 1988г. / Госкомитет по науке и технике АН СССР, Ин-т проблем механики АН УССР, Ин-т прикладных про­блем механики и математики, Львовский гос. ун-т им. Ив. Франко. - Львов, 1988. - С. 174.
  4. Астровский, А.И. Построение информационных множеств для ли­нейных нестационарных систем / А.И. Астровский // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения: тезисы докладов 3-ей Ураль­ской региональн. конф., Пермь, 1988г. / Уральский научный центр, Пермский гос. ун-т. - Пермь, 1988. - С. 153.
  5. Астровский, А.И. Адаптивный алгоритм решения билинейной минимакс­ной задачи и его программная реализация / А.И. Астровский // II Всесоюзн. школа-семинар по оптимизации и ее приложениям в экономике: тезисы докла­дов междунар. конф., Ашхабад, 1984г. / АН СССР, Центральный экономико-матем. ин-т, Туркменский гос. ун-т им. A.M. Горького. - Ашхабад, 1984. -С. 28 - 29.
  6. Астровский, А.И. Алгоритм решения билинейной минимаксной задачи / А.И. Астровский // Вычислительные методы и математическое моделирование: тезисы лекций и докладов Всесоюзн. школы, Москва, 1984г. / Ин-т прикладной матем. им. М.В. Келдыша, Ин-т математики АН БССР, Белорус, гос. ун-т. -Минск, 1984. - С. 236 - 237.

37


РЭЗЮМЭ

Астроускі Анатолій Іванавіч

МЕТАД КАНАШЧНЫХ ФОРМАУ У ТЭОРЫ1 НАЗІРАННЯ Л1НЕЙНЫХ С1СТЭМ 3 КВА31ДЫФЕРЭНЦЫРУЕМЫМ1 КАЭФЩЫЕНТАМ1

Ключавыя словы: лінейная нестацыянарная сістзма, назіральнасць, раунамерная назіральнасць, квазідьіферзнцьіруемасць, група пераутварэн-няу, кананічная форма Фрабеніуса, поуны інварьіянт, сістзмьі у форме Хе-сенберга, інфармацьійнае мноства, дыскрэтныя сістзмьі.

Мэта дьісертаціі: распрацоука новых метадау даследавання задач назіральнасці у лінейньіх нестацыянарных сістзмах і пабудова кананічньіх формау. Асноуная увага удзяляецца пашырэнню класса сістзм назірання, для якіх у канструктыунай форме у тзрмінах зыходных параметрау мож-на атрымаць неабходныя і дастатковыя умовы наяунасці розных тыпау назіральнасці і існавання кананічньіх формау Фрабеніуса.

Вьінікі дысертацыйнага даследавання: метад даследавання на-зіральнасці, заснаваны на квазідьіферзнцьіруемасці выхадных змеиных, дазволіушьі атрымаць дастатковыя умовы поунай, а таксама неабходныя і дастатковыя умовы дыферэнцыяльнай і раунамернай назіральнасці; доказ неабходных і дастатковых умоу існавання кананічньіх формау Фрабеніуса для раунамерна назіраемьіх сістзм з квазідьіферзнцьіруемьімі казфіцьіен-тамі і метад іх пабудовы; вызначана, што выхадныя функцьіі кропкава назіраемьіх сістем з'яуляюцца мнагачленамі па некаторай сістзме функцый Чэбышева, на выснове чаго даказаны неабходныя і дастатковыя умовы кропкавай, раунамерна кропкавай і дадатнай назіральнасці; абгрунтаванне алгарытму апісання інфармацьійньіх мноствау для раунамерна назіраемьіх сістзм з перашкодамі хвалявай структуры, заснаванага на кананічньіх формах Фрабеніуса, дазволіушага, у прьіватнасці, атрымаць дастатковыя умовы ідзальнай назіральнасці, пададзеныя у тзрмінах абагульненай мат-рыцы Грама; даказана, што дыскретная апраксімацьія па схеме Эйлера раунамерна назіраемай дыферэнцыальнай сістзмьі татальна назіраема, і што яе кананічная форма (пры умове існавання граніц некаторых функ­цый, пабудаваных па яе каэфщыентах) сьіходзіцца да кананічнай формы дыферэнцыяльнай сістзмьі; алгарытм вырашэння білінейнай мінімакснай заданы з лінейньімі абмежаваннямі і яго прымяненне да пабудовы апрыор-най гарантуючай аперацьіі ацэньвання стану лінейньіх дыскретных сістзм назірання з перашкодамі.

38


РЕЗЮМЕ

Астровский Анатолий Иванович

МЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМ В ТЕОРИИ НАБЛЮДЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Ключевые слова: линейная нестационарная система, наблюдаемость, равномерная наблюдаемость, квазидифференцируемость, группа преобра­зований, каноническая форма Фробениуса, полный инвариант, системы в форме Хессенберга, информационное множество, дискретные системы.

Цель диссертации: разработка новых методов исследования задач на­блюдаемости в линейных нестационарных системах и построение канониче­ских форм. Основное внимание уделяется расширению класса систем наблю­дения, для которых в конструктивной форме в терминах исходных парамет­ров можно получить необходимые и достаточные условия наличия различ­ных типов наблюдаемости и существования канонических форм Фробениуса.

Результаты диссертационного исследования: метод исследования наблюдаемости, основанный на квазидифференцируемости выходных пере­менных, позволивший получить достаточные условия полной, а также необ­ходимые и достаточные условий дифференциальной и равномерной наблю­даемости; доказательство необходимых и достаточных условий существо­вания канонических форм Фробениуса для равномерно наблюдаемых си­стем с квазидифференцируемыми коэффициентами и метод их построения; установлено, что выходные функции точечно наблюдаемых систем являют­ся многочленами по некоторой системе функций Чебышева, на основе че­го доказаны необходимые и достаточные условия точечной, равномерно то­чечной и положительной наблюдаемости; обоснование алгоритма описания информационных множеств для равномерно наблюдаемых систем с поме­хами волновой структуры, основанного на канонических формах Фробени­уса, позволившего, в частности, получить достаточные условия идеальной наблюдаемости, представленные в терминах обобщенной матрицы Грама; доказано, что дискретная аппроксимация по схеме Эйлера равномерно на­блюдаемой дифференциальной системы тотально наблюдаема, и что ее кано­ническая форма (при условии существования пределов некоторых функций, построенных по ее коэффициентам) сходится к канонической форме диффе­ренциальной системы; алгоритм решения билинейной минимаксной задачи с линейными ограничениями и его применение к построению априорной га­рантирующей операции оценивания состояний линейных дискретных систем наблюдения с помехами.

39


SUMMARY

Astrovskii Anatoly Ivanovich

METHOD OF CANONICAL FORMS IN OBSERVABILITY THEORY OF LINEAR SYSTEMS WITH QUASIDIFFERENTIATED COEFFICIENTS

Key words: linear time-varying system, observability, uniform observability, quasidifferentiation, transformation group, Frobenius canonical form, complete invariant, Hessenberg systems, information set, discrete systems.

The purpose of the dissertation: development of novel methods for investigating observability problems in linear time-varying systems and constructing canonical forms. The main purpose of the work is to extend the class of observability systems, for which it is possible to obtain necessary and sufficient conditions for different types of observability and existence of Frobenius canonical forms in constructive way in terms based on input parameters.

The results of the dissertation research: method for investigating observability, which is based on quasidifferentiation of output variables and allows to obtain sufficient conditions for complete observability, necessary and sufficient conditions for differential and uniform observability; proof of necessary and sufficient conditions for existence of Frobenius canonical forms in uniformly observed systems with quasidifferentiated coefficients and method for their construction; output functions of point-observed systems were established to be polynomials of a system of Chebyshev functions, which is base of the proof of necessary and sufficient conditions for point, uniform point and positive observability; the algorithm justification for description of information sets for uniformly observed systems with disturbance of wave structure, which is based on Frobenius canonical forms and allows, in particular, to obtain sufficient conditions for ideal observability, represented in terms of generalized Gramm matrix; it was proved that discrete approximation by Euler scheme of uniformly observed differential system is completely observed and its canonical form (in case of existence of limits of some functions constructed on its coefficients) converges to canonical form of the differential system; the algorithm for solving bilinear minimax problem with linear constrains and its application to construc­tion of a-priori guaranteed evaluation operation of states of linear discrete observa- bility systems with disturbance.

40


Подписано в печать 20.02.2012.

Формат 60 х 84/16.

Усл. печ. л. 2,41. Уч.-изд. л. 2,17.

Тираж 60 экз. Заказ 1.

Отпечатано на ризографе Института математики НАН Беларуси.

Издатель и полиграфическое исполнение:

Институт математики НАН Беларуси.

ЛИ 02330/0549443 от 8 апреля 2009г.

220072, г.Минск, ул. Сурганова, 11.

 



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.